Differentials - menene wannan? Yadda za a sami bambanci na aiki?

Tare da Kalam su ayyuka differentials - shi wasu daga cikin muhimman matsalolin da bambanci ilimin lissafi, da babban sashe na ilmin lissafi analysis. Kamar yadda inextricably nasaba, biyu daga cikinsu da dama ƙarni yadu a yi amfani warware kusan duk matsalolin da ya tashi a cikin shakka daga kimiyya da fasaha aiki.

Ana zargin manufar bambanci

Domin da farko lokacin da ya bayyana a fili cewa wannan wani bambanci, daya daga cikin wadanda suka kafa (tare da Isaakom Nyutonom) bambanci ilimin lissafi shahara Jamus lissafi Gotfrid Vilgelm Leybnits. Kafin cewa lissafi 17th karni. amfani sosai m, kuma m ra'ayin wasu infinitesimal "m" na wani da aka sani aiki, wakiltar wani sosai kananan m darajar amma ba ya daidaita da sifili, a kasa da halayya da aikin ba zai iya zama kawai. Saboda haka shi ne kawai mataki daya da gabatarwar Ganin cewa na infinitesimal increments na aikin muhawara da juna na increments daga cikin ayyuka da cewa za a iya bayyana cikin sharuddan Kalam na karshen. Kuma wannan mataki da aka dauka kusan lokaci guda sama biyu mai girma masana kimiyya.

Bisa bukatar magance gaggawa m makanikai matsalolin da ke fuskantar kimiyya samun saurin bunkasuwar tattalin arziki da fasaha, Newton kuma Leibniz halitta kowa hanyoyi na gano da ayyuka na kudi na canji (musamman game da inji gudun na jiki na san yanayin), wanda ya kai ga gabatarwar wannan Concepts, a matsayin wanda aka samu aiki da bambanci, kuma ma samu da algorithm kishiya matsalar mafita kamar yadda aka sani da se (m) gudu traversed a sami hanyar da ya haifar da manufar na game Ala.

A cikin ayyukan Leibniz da Newton ta ra'ayin farko ya bayyana cewa differentials - shi ne na gwargwado ga increment na asali muhawara Δh increments Δu ayyuka da cewa za a iya samu nasarar amfani da yin lissafi da darajar da karshen. A wasu kalmomin, sun gano cewa an increment aiki na iya zama a kowane batu (a cikin ta yankin na definition) da aka bayyana, ta hanyar da wanda aka samu duka biyu Δu = y '(x) Δh + αΔh inda α Δh - saura, suka yi jinyar da sifili kamar yadda Δh → 0, da yawa fiye da ainihin Δh.

A cewar wadanda suka kafa ilmin lissafi analysis, da differentials - wannan shi ne daidai farko lokaci a increments na wani ayyuka. Har ma ba tare da ciwon fayyace iyaka ra'ayi jerin suna gane lamirinsu da cewa bambanci darajar da wanda aka samu o ƙarin aiki a lokacin da Δh → 0 - Δu / Δh → y '(x).

Ba kamar Newton, wanda ya da farko likita da kuma ilmin lissafi na'ura dauke a matsayin wani karin kayan aiki da nazari na jiki da matsaloli, Leibniz biya fiye da hankali ga wannan Toolkit, ciki har da wani tsarin na gani, kuma comprehensible alamomin ilmin lissafi dabi'u. Shi ya samarwa da misali tsarin rubutu na differentials aiki DY = y '(x) DX, DX, da kuma wanda aka samu daga cikin shaida aiki kamar yadda su dangantaka y' (x) = DY / DX.

A zamani definition

Mene ne bambanci a sharuddan na zamani lissafi? An hankali alaka da manufar wani m increment. Idan m y daukan farko darajar y y = _1, sa'an nan y = y _2, bambanci y ₂ ─ y ₁ ake kira da increment darajar y. A increment iya zama tabbatacce. korau da sifili. The kalmar "increment" An sanya Δ, Δu rikodi (karanta 'Delta y') suturta tamanin da increment y. don haka Δu = y ₂ ─ y _1.

Idan darajar Δu sabani aiki y = f (x) iya wakilta a matsayin Δu = A Δh + α, inda A wani dogara a kan Δh, t. E. A = const ga ba x, da kuma ajali α lokacin Δh → 0 o ƙarin shi ne ko da sauri fiye da ainihin Δh, sa'an nan na farko ( "master") wani ajali na gwargwado Δh, kuma shi ne domin y = f (x) bambanci, denoted DY ko DF (x) (karanta "y de", "de EFF daga X"). Saboda haka differentials - wani "main" mikakke tare da girmamawa ga gyara na increments Δh ayyuka.

inji bayani

Bari s = f (t) - nisa a mike layin motsi abu aya daga cikin na farko matsayi (t - tafiya lokaci). Increment Δs - shi ne hanya aya a lokacin wani lokaci tazara Δt, da kuma bambanci DS = f '(t) Δt - wannan hanya, wanda batu za a gudanar da wannan lokaci Δt, idan ta riƙe gudun f' (t), kai a lokacin t . Lokacin da wani infinitesimal Δt DS hasashen hanya ya bambanta daga ainihin Δs infinitesimally ciwon mafi girma domin game da Δt. Idan gudun a lokacin t ba daidai yake da sifili, da m darajar DS ba kananan nuna bambanci batu.

lissafi da fassarar

Bari line L ne jadawali na y = f (x). Sa'an nan Δ x = MQ, Δu = QM '(ga. Adadi a kasa). Tangent MN karya Δu yanka a cikin sassa biyu, QN da NM '. Farko da kuma Δh ne na gwargwado QN = MQ ∙ KU (kwana QMN) = Δh f '(x), t. E QN ne DY bambanci.

A kashi na biyu na da bambanci Δu NM'daet ─ DY, a lokacin da Δh → 0 NM tsawon 'rage-rage ko da sauri fiye da increment na shaida, watau yana da tsari na smallness fi Δh. A wannan yanayin, idan f '(x) ≠ 0 (ba a layi daya tangent sa) segments QM'i QN m. a cikin wasu kalmomi NM 'rage-rage hanzari (domin na smallness na ta sama) fiye da jimlar increment Δu = QM'. Wannan a fili take a cikin Figure (gabatowa kashi M'k M NM'sostavlyaet duk karami yawan QM 'rabi).

Saboda haka, graphically bambanci sabani aiki ne daidai da increment na ordinate na tangent.

Wanda aka samu da bambanci

A factor a farkon lokaci na magana increment aiki ne daidai da darajar da wanda aka samu f '(x). Saboda haka, da wadannan aboki - DY = f '(x) Δh ko DF (x) = f' (x) Δh.

An sani cewa increment da m shawara ne daidai da bambanci Δh = DX. Haka kuma, ba za mu iya rubuta: f '(x) DX = DY.

Samun (wani lokacin ya ce ya zama "yanke shawara") differentials da aka yi da wannan dokoki a matsayin ga Kalam. A jerin su ne da aka ba a kasa.

Mene ne mafi duniya: da increment na shaida, ko da bambanci

Ga shi wajibi ne don yin wasu haske kan. Misali darajar f '(x) bambanci Δh yiwu idan akai la'akari x a matsayin shaida. Amma da aiki na iya zama wani hadadden, a cikin abin da x iya zama wani aiki na da hujja t. Sa'an nan da misali da bambanci magana na f '(x) Δh, kamar yadda mai mulkin, ba shi yiwuwa; fãce a cikin hali na mikakke dogara x = a + b.

Kamar yadda da dabara f '(x) DX = DY, sa'an nan a cikin hali na zaman shawara x (sai DX = Δh) a yanayin saukan na parametric dogara da x t, shi ne bambanci.

Alal misali, magana 2 x Δh ne ga y = x ² ta bambanci a lokacin da x ne wani misãli ba. Mu yanzu x = t ² kuma ya ɗauka t shawara. Sa'an nan y = x ² = t ^4.

Wannan ne bi da (t + Δt) ² = t ² + 2tΔt + Δt ^2. Saboda haka Δh = 2tΔt + Δt ^2. Saboda haka: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + Δt ^2).

Wannan magana ba na gwargwado ga Δt, sabili da haka ne yanzu 2xΔh ba bambanci. Yana za a iya samu daga lissafi y = x ² = t ^4. Daidai ne DY = 4t ³ Δt.

Idan muka dauki magana 2xdx, shi ne bambanci y = x ² ga wata hujja t. Lalle ne, a lokacin da x = t ² samu DX = 2tΔt.

Saboda haka 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ .DELTA.t, t. E. The magana differentials rubuce ta biyu daban-daban canji daidaita.

Maye gurbin increments differentials

Idan f '(x) ≠ 0, sa'an nan Δu da DY m (idan Δh → 0); idan f '(x) = 0 (ma'anar da DY = 0), su ne ba daidai.

Alal misali, idan y = x ^2, sa'an nan Δu = (x + Δh) ² ─ x ² = 2xΔh + Δh ² da kuma DY = 2xΔh. Idan x = 3, sa'an nan muka yi Δu = 6Δh + Δh ² da kuma DY = 6Δh cewa ne m saboda Δh ² → 0, idan x = 0 darajar Δu = Δh ² da kuma DY = 0 ne ba m.

Wannan al'amari, tare da sauki tsarin da bambanci (m. E. Linearity game da Δh), sau da yawa yana amfani da m lissafi, a kan zato cewa Δu ≈ DY ga kananan Δh. Nemo bambanci aiki ne yawanci sauki fiye da yin lissafi da ainihin darajar da increment.

Alal misali, muna da ƙarfe shigen sukari da baki x = 10,00 cm. A dumama gefen tsawo a kan Δh = 0,001 cm. Yadda ya karu girma shigen sukari V? Muna da V = x ^2, don haka da cewa DV = 3x ² = Δh 3 ∙ ∙ Fabrairu ¹⁰ 0/01 = 3 (cm ^3). Karuwan ΔV m bambanci DV, don haka da cewa ΔV = 3 cm ^3. Cikakken lissafi zai ba ³ ΔV = 10,01 ─ Maris ¹⁰ = 3.003001. Amma sakamakon duk lambobi fãce farko unreliable. saboda haka, shi ne har yanzu zama dole zuwa zagaye har zuwa 3 cm ^3.

Babu shakka, wannan hanya ne amfani kawai idan yana yiwuwa ya kimanta tamanin sanar da kuskure.

Bambanci aiki: misalai

Bari mu yi kokarin nemo bambanci na aikin y = x ^3, gano da wanda aka samu. Bari mu ba da shawara increment Δu da kuma ayyana.

Δu = (Δh + x) ³ ─ x ³ = 3x ² + Δh (Δh 3xΔh ² + ^3).

A nan, coefficient A = 3x ² ba ya dogara ne a kan Δh, don haka da cewa da farko lokaci ne na gwargwado Δh, da sauran memba 3xΔh Δh ² + ³ idan Δh → 0 rage-rage da sauri fiye da increment da shaida. Saboda haka, memba na 3x ² Δh ne bambanci na y = x ^3:

DY = 3x ² Δh = 3x ² DX ko d (x ³⁾ = 3x ² DX.

Cikinsa d (x ³⁾ / DX = 3x ^2.

DY Mu yanzu sami aiki y = 1 / x da wanda aka samu. Sa'an nan d (1 / x) / DX = ─1 / x ^2. Saboda haka DY = ─ Δh / x ^2.

Differentials asali algebraic ayyuka da aka bã kasa.

M lissafin amfani da bambanci

Don kimanta da aiki f (x), da kuma ta wanda aka samu f '(x) a x = wani ne sau da yawa wuya, amma su yi daidai a cikin kusanci da x = wani ba sauki. Sa'an nan ka zo da taimakon da m magana

f (a + Δh) ≈ f '(a) Δh + f (a).

Wannan ba wani m darajar da aiki a kananan increments ta hanyar da bambanci Δh f '(a) Δh.

Saboda haka, wannan dabara ya ba da wani m magana ga aiki a karshen batu na wani rabo daga wani tsawon Δh a matsayin Naira Miliyan Xari da darajar a masomin rabon (x = a) da kuma bambanci a cikin wannan masomin. Daidaito na hanyar for kayyade dabi'u na aiki a kasa misalta da zane.

Duk da haka da aka sani da ainihin magana ga darajar da aiki x = wani + Δh da aka ba da dabara guntun increments (ko, a madadin, Lagrange ta dabara)

f (a + Δh) ≈ f '(ξ) Δh + f (a),

inda batu x = wani + ξ ne a cikin tazara daga x = wani to x = wani + Δh, ko da yake ta ainihin matsayin shi ne ba a sani ba. Ainihin dabara da damar kimanta da kuskure na m dabara. Idan muka sa a cikin Lagrange dabara ξ = Δh / 2, ko da yake da shi daina zama daidai, amma ba, kamar yadda mai mulkin, da ta fi kyau m fiye da asali magana cikin sharuddan da bambanci.

Evaluation dabarbari kuskure da ake ji bambanci

Aunawa kida , bisa manufa, m, da kuma kawo ga ji data m ga kuskure. Suna halin iyakance cikin cikakkar kuskure, ko, a takaice, da iyaka kuskure - tabbatacce, a fili wucewa da kuskure a cikin cikakkar darajar (ko a mafi daidaita shi). Iyakance zumunta kuskure ne da ake kira quotient samu ta hanyar rarraba shi da cikakkar darajar da auna da daraja.

Bari ainihin dabara y = f (x) aiki amfani da su vychislyaeniya y, amma darajar x ne ji sakamakon, sabili da haka ya zo da y kuskure. Sa'an nan, ya sami iyakance cikakkar kuskure │Δu│funktsii y, ta amfani da dabara

│Δu│≈│dy│ = │ f '(x) ││Δh│,

inda │Δh│yavlyaetsya m kuskure shawara. │Δu│ yawa dole ne a taso keya zuwa sama, kamar yadda m lissafi da kanta ne da sauyawa na increment a kan bambanci lissãfi.