Ƙirgar da kuma kama bambanci lissafi na farko domin. misalai na mafita

Ina ganin ya kamata mu fara da tarihin ɗaukaka da ilmin lissafi kayan aiki a matsayin bambanci lissafai. Kamar dukan bambanci da na game ilimin lissafi, wadannan lissafai aka ƙirƙira by Newton a cikin marigayi 17th karni. Ya yi imani da shi shi ne ya samu haka muhimmanci cewa har ma da rufaffen sakon, wanda a yau za a iya fassara kamar haka: "Duk da dokoki na halitta da aka bayyana da bambanci lissafai." Yana iya ze wani ƙari ba, amma yana da gaskiya. Wata doka ta kimiyyar lissafi, sunadarai, ilmin halitta, za a iya bayyana ta wadannan lissafai.

An babban taimako ga ci gaba da kuma halittar da ka'idar bambanci lissafai da lissafi na Euler da Lagrange. Tuni a cikin 18th karni da suka gano da kuma raya abin da aka yanzu da karatu a manyan jami'a darussa.

Wani sabon milestone a cikin nazarin bambanci lissafai fara godiya ga Anri Puankare. Ya halitta a "ingantaccen ka'idar bambanci lissafai", wanda, a hade tare da ka'idar ayyuka na hadaddun canji da gudummawar muhimmanci ga kafuwar topology - da kimiyya da sararin samaniya da kuma da kaddarorin.

Menene bambanci lissafai?

Mutane da yawa suna tsoron da magana "bambanci lissafi". Duk da haka, a wannan labarin, za mu tashi a cikin daki-daki, jigon wannan da amfani sosai ilmin lissafi kayan aiki wanda shi ne ainihin ba kamar yadda rikitarwa kamar yadda alama daga muƙamin. Domin fara magana game da wani farko-domin bambanci lissafi, dole ne ka farko samun matsahi na saba da na asali Concepts cewa an inherently hade da wannan definition. Kuma za mu fara da bambanci.

bambanci

Mutane da yawa san wannan lokaci tun makarantar sakandare. Duk da haka, har yanzu zauna a kan shi a daki-daki. Tunanin jadawali na aiki. Za mu iya kara shi don irin wannan har wani daga cikin kashi zama mike layin. Yana dauka da maki biyu da suke da rashin iyaka kusa da juna. Bambanci tsakanin su tsarawa (x ko y) ne infinitesimal. Kuma shi ne ake kira bambanci da kuma haruffa designate DY (bambanci na y) da kuma DX (da bambanci na x). Yana da muhimmanci a fahimci cewa bambanci ba matuƙar darajar, kuma wannan shi ne ma'anar da babban aiki.

Kuma yanzu dole ne ka la'akari da wadannan abubuwa, wanda za mu bukatar bayyana bambanci lissafi ra'ayi. Yana - wanda aka samu.

wanda aka samu

Dukan mu dole ne sun ji a makaranta da kuma wannan ra'ayi. Suka ce cewa wanda aka samu - shi ne rabon da ci gaban ko rage na aiki. Duk da haka, wannan definition zama mafi m. Bari mu yi kokarin bayyana da wanda aka samu sharuddan da differentials. Bari mu koma zuwa infinitesimal tazara aiki tare da biyu da maki, wanda aka located a mafi žarancin nisa daga juna. Amma ko da bayan wannan nesa aiki ne lokacin da za a canza zuwa wasu darajar. Kuma don bayyana cewa canji da kuma fito da wani wanda aka samu cewa zai in ba haka ba za a rubuta a matsayin rabo na differentials: f (x) '= DF / DX.

Yanzu ya zama dole a yi la'akari da asali kaddarorin da wanda aka samu. Akwai guda uku ne:

1. Wanda aka samu Naira Miliyan Xari ko bambanci za a iya wakilta a matsayin Naira Miliyan Xari ko bambanci na Kalam: (a + b) '= wani' + b ', kuma (ab)' = a'-b '.
2. Na biyu dukiya yake da alaka da multiplication. Wanda aka samu da ayyuka - shi ne Naira Miliyan Xari da ayyukan daya aiki zuwa wani wanda aka samu: (a * b) '= wani' * b + a * b '.
3. The wanda aka samu da bambanci za a iya rubuta kamar yadda wadannan lissafi: (a / b) '= (a' * Ba * b ') / b ^2.

Duk wadannan siffofin zo a cikin m domin nemo mafita ga bambanci lissafai na farko domin.

Har ila yau, akwai m Kalam. Yi tsammani muna da aiki na z, wanda ya dogara a kan masu canji x da kuma y. Don lissafi da m wanda aka samu da wannan aiki, alal misali, a cikin x, muna bukatar mu yi da m y ga m da kuma sauki bambance.

na game

Wani muhimmin ra'ayi - integral. A gaskiya shi ne akasin wanda aka samu. Integrals da dama iri, amma mafi sauki da mafita daga bambanci lissafai, muna bukatar mafi maras muhimmanci m integrals.

Saboda haka, abin da yake da na game? Bari mu ce muna da wasu dangantaka f na x. Mun dauki daga gare shi na game da samun aikin F (x) (shi ne sau da yawa ake magana a kai a matsayin m), wanda yake shi ne wanda aka samu na asali aiki. Saboda haka F (x) '= f (x). Wannan ma yana nuna cewa na game da wanda aka samu shi ne daidaita da asali aiki.

A warware bambanci lissafai yana da muhimmanci sosai ga fahimtar ma'anar da kuma aiki na integral, tun sau da yawa sosai da ya dauki su sami mafita.

A lissafai ne daban-daban dangane da yanayi. A na gaba sashe za mu dubi iri na farko domin bambanci lissafai, sa'an nan koyi yadda za su magance su.

Azuzuwan da bambanci lissafai

"Diffury" raba da oda na Kalam hannu a gare su. Kamar wancan akwai wani na farko, na biyu, na uku ko fiye da oda. Su kuma za a iya rarraba su zuwa dama azuzuwan: talakawa da kuma m.

A cikin wannan labarin, za mu yi la'akari da talakawa bambanci lissafai na farko domin. Misalai da kuma mafita mu tattauna a cikin wadannan sassan. Mun la'akari kawai da TAC domin shi ne ya fi kowa iri lissafai. Talakawa kasu kashi subspecies: tare da gaßoßi canji, kama da iri-irin. Next za ka koyi yadda za su bambanta da juna, da kuma koyi yadda za a warware su.

Bugu da kari, wadannan lissafai za a iya hada, don haka cewa bayan da muka samu a tsarin na bambanci lissafai na farko domin. Irin wannan tsarin, mu kuma dubi da kuma koyi yadda za a warware.

Me muka duba yiwuwar kawai na farko domin? Saboda shi wajibi ne don fara tare da wani sauki da kuma bayyana duk hade tare da bambanci lissafai, a wani guda labarin ba shi yiwuwa.

Lissafai da gaßoßi canji

Wannan watakila mafi sauki farko domin bambanci lissafai. Wadannan su ne misalai da cewa za a iya rubuta kamar: y '= f (x) * f (y). Don warware wannan lissafi da muke bukata da misali dabara da wanda aka samu a matsayin rabo na differentials: y '= DY / DX. Tare da shi muka samu da lissafi: DY / DX = f (x) * f (y). Yanzu za mu iya juya zuwa ga hanyar warware misali misalai: rarrabe canji a sassa, watau gaba da sauri duk m y a cikin part inda akwai DY, da kuma sa m x ... Mun samu wani lissafi da siffan: DY / f (y) = f (x) DX, wanda aka samu da shan integrals na sassa biyu. Kada ka manta game da m cewa kana so ka sa bayan hadewa.

A bayani na wani "diffura" - shi ne mai aiki na x ta y (a cikin yanayin), ko kuma idan akwai mai lamba yanayin, amsar ne mai lambar. Bari mu bincika wani kankare misali dukan Hakika na yanke shawara:

y '= 2y * zunubi (x)

Sauye canji a cikin daban-daban kwatance:

DY / y = 2 * zunubi (x) DX

Yanzu dauki integrals. Dukan su za a iya samu a wani musamman tebur na integrals. Kuma mun samu:

Ln (y) = -2 * cos (x) + C

Idan an buƙata, za mu iya bayyana da "y" a matsayin aiki na "X". Yanzu za mu iya ce cewa mu bambanci lissafi an warware, idan ba a kayyade ba yanayin. Za a iya kayyade yanayin, misali, y (n / 2) = e. Sa'an nan za mu kawai musanya da darajar da wadannan masu canji a cikin yanke shawara da kuma samun darajar da akai. A cikin misali, shi ne 1.

Kama farko domin bambanci lissafai

Yanzu a kan ga mafi hadaddun sassa. Kama farko domin bambanci lissafai za a iya rubuta a general tsari a matsayin: y '= z (x, y). Ya kamata a lura da cewa dama aiki na biyu canji ne uniform, kuma ba za a iya kasu kashi biyu dangane: z x da kuma z na y. Duba ko lissafi ne kama ko ba, shi ne quite sauki: mun sa canzawa x = k * x da kuma y = k * y. Yanzu mun yanke duk k. Idan wadannan haruffa an kika aika, sa'an nan da lissafi kama da za a iya amince ci gaba da bayani. Neman gaba, muka ce: da manufa na bayani daga wadannan misalai ne ma mai sauqi qwarai.

Muna bukatar mu sa canzawa: y = t (x) * x, inda t - wani aiki da kuma dogara a kan x. Sa'an nan ba za mu iya bayyana wa wanda aka samu: y '= t' (x) * x + t. Musanya duk wannan a cikin mu asali lissafi da kuma simplifying shi, muna da misali na rabuwa da canji t kamar yadda x. Magance ta kuma samu cikin dogara da t (x). Lokacin da muka samu shi, kawai musanya mu baya canzawa y = t (x) * x. Sa'an nan kuma muka samu da dogaro da y a x.

Don yin shi bayarda, za mu fahimci wani misali: x * y '= yx * e y / x.

Lokacin da dubawa da sauyawa dukkan ragewa. Saboda haka, da lissafi ne da gaske kama. Yanzu sanya wani canzawa, muka yi magana, game da: y = t (x) * x da kuma y '= t' (x) * x + t (x). Bayan simplification da wadannan lissafi: t '(x) * x = -E t. Mun yanke don samun wani samfurin tare da raba canji da muka ^{samu: e -t = Ln (C *} x). Mu dai bukatar maye gurbin t da y / x (domin idan y = t * x, sa'an nan t = y / x), kuma mu samu ^{amsar: e -y / x = Ln (} x * C).

Ƙirgar bambanci lissafi na farko domin

Yana da lokaci zuwa la'akari da wani m topic. Za mu duba iri-irin farko-domin bambanci lissafai. Ta yaya suka bambanta daga baya biyu? Bari mu fuskanci shi. Ƙirgar farko domin bambanci lissafai a general nau'i na lissafi za a iya rubuta kamar haka: y '+ g (x) * y = z (x). Ya kamata a bayyana cewa z (x) da kuma g (x) na iya zama m dabi'u.

Ga misali: y '- y * x = x ^2.

Akwai hanyoyi biyu don warware, kuma mun oda Bari mu bincika biyu daga cikinsu. A farko - Hanyar bambancin da sabani constants.

Don shirya da lissafi a cikin wannan hanya, shi ne zama dole danganta da farko dama-hannu gefen sifili, da kuma shirya sakamakon lissafi wanda bayan canja wurin daga sassa zama:

y '= y * x.

DY / DX = y * x.

DY / y = xdx.

Ln | y | = x ^2/2 + C;

y = e ^{x2 / 2} * ^C y = C ₁ * e ^{x2 / 2.}

Yanzu shi wajibi ne don maye gurbin da akai C ₁ a kan aikin v (x), wanda za mu sami.

y = v * e ^{x2 / 2.}

Zana a maye wanda aka samu:

^{y '= v' * e x2} / ² -x * v * e ^{x2 / 2.}

Kuma musanya wadannan maganganu a cikin na asali lissafi:

v '* e ^{x2 / 2} - x * v * e ^{x2 / 2} + x * v * e ^{x2 / 2} = x ^2.

Za ka iya ganin cewa, a gefen hagu na biyu sharuddan an rage. Idan wasu misali da cewa bai faru ba, to, ka yi wani abu ba daidai ba. Mun ci gaba da zuwa:

v '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Yanzu muna shirya saba lissafi a cikin abin da za ka so ka raba da canji:

DV / DX = x ^{2 /} e ^x2 / ^2;

DV = x ² * e ^{- x2 / 2} DX.

Don cire integral, dole mu yi amfani da hadewa da sassa a nan. Duk da haka, wannan ba topic wannan labarin. Idan kana sha'awar, za ka iya koyi a nasu a gudanar da irin wannan ayyuka. Ba shi da wuya, kuma tare da isasshen fasaha da kuma kula ba mai cin lokaci.

Magana game da biyu Hanyar da mafita daga cikin inhomogeneous lissafai: Bernoulli Hanyar. Abin da m ne sauri da kuma sauki - yana da har zuwa gare ku.

Saboda haka, a lokacin da warware wannan hanya, muna bukatar mu sa canzawa: y = k * n. A nan, k da kuma n - wasu ayyuka dangane x. Sa'an nan wanda aka samu zai yi kama da: y '= k' * n + k * n '. Canza biyu substitutions a cikin lissafi:

k '* n + k * n ' + x * k * n = x ^2.

Group up:

k '* n + k * ( n' + x * n) = x ^2.

Yanzu ya zama dole danganta da sifili, cewa shi ne a cikin baka biyu. Yanzu, idan ka hada da biyu sakamakon lissafai, mun samu wani tsarin na farko domin bambanci lissafai da za a warware:

n '+ x * n = 0.

k '* n = x ^2.

A farko daidaici shirya yadda za saba lissafi. Don yin wannan, kana bukatar ka rabu da canji:

DN / DX = x * v;

DN / n = xdx.

Mu dauki na game da muka samu: Ln (n) = x ^2/2. Sa'an nan kuma, idan muka bayyana n:

n = e ^{x2 / 2.}

Yanzu musanya sakamakon lissafi a cikin na biyu lissafi:

k '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Kuma ta hanyar mayar da, mun samu wannan lissafi kamar yadda a farkon Hanyar:

DK = x ^{2 /} e ^x2 / ^2.

Mu ma ba za su tattauna mataki kara. An ce, a farkon farko-domin bambanci lissafai bayani yana sa babba matsaloli. Duk da haka, a zurfi nutsewa a cikin topic an fara samun mafi alheri, kuma mafi alhẽri.

Ina bambanci lissafai?

Very aiki bambanci lissafai amfani da kimiyyar lissafi, kamar yadda kusan duk asali dokokin da aka rubuta a bambanci form, kuma waɗanda dabarbari, cewa mu gani - a warware wadannan lissafai. A sunadarai, suna amfani da wannan dalilin: ka'idojin ake samu ta hanyar su. A ilmin halitta, da bambanci lissafai ana amfani da su Model da hali na tsarin, kamar predator - ganima. Su kuma za a iya amfani da su haifar da model na haifuwa, misali, mazauna na kwayoyin.

Kamar yadda bambanci lissafai taimaka a rayuwa?

Amsar wannan tambaya mai sauki: kome. Idan ba ka da wani masanin kimiyya ko injiniya, shi ne wuya cewa za su zama da amfani. Duk da haka, ba ciwo su san abin da bambanci lissafi da kuma shi ne warware ga] aukacin ci gaba. Kuma a sa'an nan da tambaya daga wani ɗansa ko 'yarsa, "abin da wani bambanci lissafi?" ba sa ku a cikin matattu karshen. To, idan ka kasance masanin kimiyya ko injiniya, sa'an nan ka san muhimmancin wannan topic a wani kimiyya. Amma, mafi muhimmanci, cewa yanzu ga tambaya "yadda za a warware bambanci lissafi na farko domin?" za ka ko da yaushe su iya ba da amsar. Yarda, shi ne ko da yaushe kyau idan ka gane cewa abin da mutane ne ko da tsoro ga gano.

Babban matsaloli a cikin nazarin

Babban matsalar a cikin fahimtar wannan topic ne mai miyagun halaye na hadewa da kuma bambantawa ayyuka. Idan kun kasance m zaton Kalam kuma integrals, shi ne mai yiwuwa daraja fiye koya, su koyi hanyoyin daban-daban na hadewa da kuma bambantawa, kuma amma sai ci gaba da binciken daga cikin kayan da aka bayyana a cikin labarin.

Wasu mutane sun yi mamaki da suka fahimci cewa DX za a iya canjawa wuri, kamar yadda a baya (a makaranta) jãyayya da cewa sulusi da murabba'i DY / DX ne basa. Sa'an nan kuma ka bukatar karanta litattafai a kan wanda aka samu da kuma fahimtar cewa shi ne hali na rashin iyaka kananan yawa, wanda za a iya nemi yin amfani a warware lissafai.

Mutane da yawa ba nan da nan gane cewa bayani daga bambanci lissafai na farko domin - wannan shi ne sau da yawa wani aiki ko neberuschiysya integral, kuma wannan da ruɗi ba su da wani matsala.

Me kuma za a iya karatu don fahimtar?

Zai fi kyau a fara kara nutsewa a cikin duniyar bambanci ilimin lissafi na musamman litattafan, misali, a cikin ilmin lissafi analysis ga dalibai wadanda ba ilmin lissafi fannoni. Za ka iya sa'an nan matsawa zuwa mafi musamman wallafe-wallafe.

An ce, ban da bambanci, har yanzu akwai na game lissafai, don haka za ka ko da yaushe suna da wani abu to ku yi jihãdi ga kuma abin da ya yi karatu.

ƙarshe

Muna fatan cewa, bayan karanta wannan labarin, za ka yi wani tunani na abin da bambanci lissafai da kuma yadda za su magance su daidai.

A cikin wani hali, lissafi a kowace hanya amfani a gare mu a rayuwa. Yana tasowa dabaru da hankali, ba tare da abin da kowane mutum, kamar yadda ba tare da hannuwanku.