A tsarin na mikakke algebraic lissafai. Kama tsarin na mikakke algebraic lissafai

A makaranta, kowannenmu karatu da lissafi da kuma, lalle ne, haƙĩƙa, da tsarin da lissafai. Amma ba mutane da yawa sani cewa akwai hanyoyi da dama wajen warware su. Yau za mu gani daidai duk hanyoyin warware wani tsarin na mikakke algebraic lissafai, wanda an hada da fiye da biyu lissafai.

labarin

A yau mun san cewa ma'adanin na warware lissafai da su da tsarin asali ne a zamanin da Babila, da Misira. Duk da haka, daidaito a su saba form bayyana a gare mu bayan abin da ya faru na daidaita alamar "=", wanda aka gabatar a 1556 da Turanci lissafi rikodin. Af, wannan alama ce da aka zaba domin a dalilin: yana nufin biyu a layi daya daidai segments. Lalle ne, misali mafi kyau na daidaici ba ya zo up.

The kafa na zamani rubuta da kuma alamomin da ba a sani ba har, Faransa lissafi Fransua việt. Duk da haka, ta nadi ne muhimmanci daban-daban daga yau. Alal misali, a square na wani unknown yawan ya kaddamarda da wasika Q (Lat "quadratus".), Kuma da shigen sukari - harafin C (Lat "cubus".). Wadannan alamomin yanzu ze m, amma sai ya kasance mafi ilhama hanyar rubuta wani tsarin na mikakke algebraic lissafai.

Duk da haka, hasara a rinjaye hanyoyin da bayani shi ne cewa lissafi sun dauke kawai m asalinsu. Wata kila wannan shi ne saboda gaskiyar cewa korau dabi'u ba su da wani m aikace-aikace. Ko ta wani hanya, amma na farko da za a dauke korau tushen fara bayan da Italian lissafi Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano kuma Raphael Bombelli a cikin 16th karni. A zamani look, babban Hanyar warware quadratic lissafai (ta hanyar discriminant) da aka kafa kawai a cikin 17th karni ta hanyar ayyukan Descartes da Newton.

A tsakiyar karni na 18th Swiss lissafi Gabriel Cramer samu wata sabuwar hanya ta yin bayani da tsarin na mikakke lissafai sauki. Wannan hanya da aka daga baya suna biye da shi, da kuma wannan rana da muka yi amfani da shi. Amma a kan hanya na Kramer ta magana kadan daga baya, amma a yanzu za mu tattauna mikakke lissafai da su mafita dabam daga tsarin.

Ƙirgar lissafai

Ƙirgar lissafai - mafi sauki lissafi tare da m (s). Sun kasance a cikin algebraic. Ƙirgar lissafai rubuta a cikin general form kamar haka: a ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... da kuma _n * x _n = b. Ƙaddamarwa da wannan tsari za mu bukatar a shiri na tsarin da matrices on.

A tsarin na mikakke algebraic lissafai

A definition wannan lokaci ne: wani sa na lissafai da cewa suna da na kowa unknowns da kuma janar bayani. Yawanci, a makaranta duk warware wani tsarin da biyu ko uku lissafai. Amma akwai tsarin da hudu ko fiye da aka gyara. Bari mu ga farko yadda za a rubuta su saukar da haka da cewa daga baya da shi ya dace don warware. Da fari dai, tsarin na mikakke algebraic lissafai zai dubi mafi alhẽri idan duk da canji an rubuta kamar yadda x tare da daidai index: 1,2,3 da sauransu. Abu na biyu, shi ya kamata kai duk da lissafai da canonical form: a ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... da kuma _n * x _n = b.

Bayan duk wadannan matakai, za mu iya fara gaya muku yadda za a nemo mafita daga tsarin na mikakke lissafai. Sosai ga cewa zai zo a m matrix.

matrix

Matrix - a tebur cewa kunshi layuka da kuma ginshikan, kuma ta abubuwa ne a su mahada. Wannan na iya zama ko dai wani takamaiman darajar ko m. A mafi yawan lokuta, to designate abubuwa da aka shirya a ƙasa da subscripts (msl, a ₁₁ ko ₂₃ da kyau). A farko index nuna jere lambar, da kuma na biyu - da shafi. Sama matrices kamar a sama da kuma wani ilmin lissafi kashi iya yi daban-daban ayyukan. Saboda haka, za ka iya:

1) debewa kuma ƙara guda size of tebur.

2) ninka da matrix zuwa wani lamba ko vector.

3) Transpose: fasalin matrix Lines a cikin ginshikan, da kuma ginshikan - a line.

4) ninka da matrix, idan yawan layuka ne daidai da daya daga cikinsu a daban-daban yawan ginshikan.

Don tattauna a daki-daki, duk wadannan dabaru, kamar yadda su ne amfani a gare mu a nan gaba. Subtraction kuma Bugu da kari na matrices ne mai sauqi qwarai. Tun da mun dauki wannan size matrix, kowane kashi na daya tebur ne related to kowane sauran kashi. Kamar wancan muka ƙara (debewa) biyu daga wadannan abubuwa (da shi ne muhimmin abin da suka kasance a tsaye a wannan ƙasa a cikin su matrices). Lokacin da ta tara da yawan matrix ko vector ku kawai ninka kowane kashi na matrix da cewa lamba (ko vector). Transposition - mai matukar ban sha'awa da tsari. Da ban sha'awa sosai wani lokacin ga shi, a hakikanin rai, misali, a lokacin da canza fuskantarwa wata kwamfutar hannu ko waya. The gumaka a kan tebur ne da wani matrix, kuma tare da wani canji na matsayi, shi ne transposed da kuma zama da fadi, amma rage-rage tsawo.

Bari mu bincika mafi wani tsari kamar matrix multiplication. Ko da yake ya gaya mana, da kuma ba da amfani, amma a san shi ne har yanzu amfani. Ninka biyu matrices iya zama kawai a karkashin yanayin da cewa yawan ginshikan a daya tebur ne daidai da yawan layuka wasu. Yanzu dauki daya matrix line abubuwa da sauran abubuwa na daidai shafi. Riɓaɓɓanya su ga juna, sa'an nan kuma ware Naira Miliyan Xari (Ina nufin, misali, wata samfurin na abubuwa ₁₁ da kuma ₁₂ kuma a ₁₂ b da kuma ₂₂ b zai zama daidai: a * b _{11 12} + ₁₂ * b da kuma _22). Saboda haka, guda tebur abu, da kuma wani Hanyar kama da shi ne cika m.

Yanzu za mu iya fara yi la'akari da yadda za a warware tsarin na mikakke lissafai.

Gauss

Wannan batu ya fara faru a makaranta. Mun sani sosai manufar "tsarin na biyu mikakke lissafai" da kuma sanin yadda za a warware su. Amma abin da idan yawan lissafai ne mafi girma daga biyu? Wannan zai taimaka mana Gauss Hanyar.

Hakika, wannan hanya ne dace don amfani, idan ka yi matrix da tsarin. Amma ba za ka iya maida shi da kuma yanke shawara a kan kansa.

Saboda haka, yadda za a magance ta ta hanyar wani tsarin na mikakke lissafai Gauss? Af, ko da yake wannan hanya da kuma mai suna bayan shi, amma gano shi a zamanin da. Gauss yana da wani aiki da za'ayi tare da lissafai, to ƙarshe haifar a cikin totality zuwa echelon form. Abin da ya ce muku bukatar zuwa top-saukar da (idan daidai sanya) daga na farko zuwa na karshe lissafi waned daya ba a sani ba. A wasu kalmomin, muna bukatar mu tabbata cewa mun samu, sai ka ce, uku lissafai: na farko - uku unknowns, a karo na biyu - biyu a cikin uku - daya. Sa'an nan, daga karshe lissafi, za mu sami na farko ba a sani ba, musanya da darajar a karo na biyu ko na farko lissafi, da kuma kara samun sauran biyu canji.

Cramer ta sarautar

Ga ci gaban da wannan dabara ne m don Master da basira da Bugu da kari, subtraction na matrices, kazalika da bukatar su iya samun determinants. Saboda haka, idan kun kasance m yin wannan duka ko ba su sani ba yadda za, shi wajibi ne don koyi da za a horar da.

Mene ne jigon wannan hanya, da kuma yadda za a yi haka, don samun wani tsarin na mikakke lissafai Cramer? Yana da matukar sauki. Muna bukatar mu gina wani matrix da lambobi (kusan ko da yaushe) da coefficients na wani tsarin na mikakke algebraic lissafai. Don yin wannan, kawai dauki adadin da ba a sani ba, kuma mun gabatar da wani tebur a cikin tsari da aka rubuta a cikin tsarin. Idan kafin lambar da yake da wata ãyã "-", sai mu rubuta korau coefficient. Saboda haka, da muka yi da farko matrix na coefficients na unknowns, ba ciki har da lambar bayan da daidai alamar (ba shakka, cewa lissafi yana zuwa da za a rage zuwa da canonical form a lõkacin da dama ne kawai lamba, da kuma hagu - duk unknowns da coefficients). Sa'an nan kuma ka bukatar ka yi 'yan matrices - daya ga kowane m. A saboda wannan dalili, a cikin ta farko matrix aka maye gurbinsu da daya shafi kowane shafi lambobin da coefficients bayan da daidaita ãyã. Kamar wancan muka samu a 'yan matrices sa'an nan sami su determinants.

Bayan da muka samu da neman shiga gasar, yana da kananan. Muna da wani na farko matrix, kuma akwai da dama samu matrices, wanda dace daban-daban canji. Don samun wani tsarin bayani, mu raba determinant na sakamakon tebur a kan primary determinant na tebur. A sakamakon yawan ne da darajar daya m. Hakazalika, muna samun duk unknowns.

sauran hanyoyin da

Akwai hanyoyin da dama domin ya sami bayani daga tsarin na mikakke lissafai. Alal misali, a abin da ake kira Gauss-Jordan hanya, wanda ake amfani da gano mafita daga cikin tsarin na quadratic lissafai, da kuma dangantaka da da amfani da matrices. Akwai kuma wani Jacobi hanya domin magance wani tsarin na mikakke algebraic lissafai. Ya sauƙi adapts duk kwakwalwa da kuma ake amfani a sarrafa kwamfuta.

rikitarwa lokuta

Rikitaccen yakan auku idan yawan lissafai ne kasa da yawan canji. Sa'an nan za mu iya haƙĩƙa ce cewa, ko da tsarin shi ne saba (ie, yana da wani tushen), ko yawan ta yanke shawararta o ƙarin tabbatar da rashin iyaka. Idan muka yi karo na biyu idan - wajibi ne a rubuta da janar bayani na tsarin na mikakke lissafai. Yana zai hada akalla daya m.

ƙarshe

A nan mun zo karshen. Don takaita: dole mu fahimci abin da tsarin matrix, koya samu janar bayani da wani tsarin na mikakke lissafai. Bugu da kari mu dauke da wasu zaɓuɓɓuka. Mu fitar da siffa yadda za a warware tsarin na mikakke lissafai: Gaussian kawar da Cramer ta mulki. Mun yi magana game da wuya lokuta da sauran hanyoyi na gano mafita.

A gaskiya, wannan batu ne yafi m, kuma idan kana so ka fi gane shi, mu shawara ka ka karanta na musamman wallafe-wallafe.